求二元函数z＝f(x y)＝x2y(4－x－y)在直线x＋y＝6 x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大

正确答案：先求函数在D内的驻点解方程组得x＝0(0≤y≤6)及点(40)(21)．故在D内有唯一驻点(21)在该点处f(21)＝4再求f(xy)在D的边界上的最值．在边界x＝0(0≤y≤6)和y＝0(0≤x≤6)上f(xy)＝0在边界x＋y＝6上y＝6－x代入f(xy)中得f(xy)＝x²(6－x)(－2)＝2x²(x－6)fˊ_x＝4x(x－6)＋2x²＝6x²－24x＝0解得 x＝0x＝4 故 y＝6－x｜_x＝4 ＝2 f(42)＝x²y(4－x－y²)｜₍₄₂₎ ＝－64比较后可知f(21)＝4为最大值f(42)＝－64为最小值．
先求函数在D内的驻点,解方程组得x＝0,(0≤y≤6),及点(4,0),(2,1)．故在D内有唯一驻点(2,1),在该点处f(2,1)＝4再求f(x,y)在D的边界上的最值．在边界x＝0(0≤y≤6)和y＝0(0≤x≤6)上f(x,y)＝0在边界x＋y＝6上,y＝6－x,代入f(x,y)中,得f(x,y)＝x2(6－x)(－2)＝2x2(x－6)fˊx＝4x(x－6)＋2x2＝6x2－24x＝0解得x＝0,x＝4,故y＝6－x｜x＝4＝2f(4,2)＝x2y(4－x－y2)｜(4,2)＝－64比较后可知f(2,1)＝4为最大值,f(4,2)＝－64为最小值．