找出下列标准式博弈(normal—form. game)的混合战略纳什均衡 并绘出两个参加者各自的反

正确答案：(1)各自的期望收益 令r表示ML.I选择“T”的概率那么(1一r)就表示他选择“B”的概率。同样令c表示Miss J选择“R”的概率那么(1一c)就表示他选择“L”的概率。当r和c等于0或者1时相应的策略就是纯策略除此之外就是混合策略均衡。 计算当Mr．I按概率r选择“T”而Miss J按概率c选择“R”时Mr．I的期望收益。排列如下： 所以Mr．I的期望收益为2rc+(1一r)c+0+3(1一r)(1一c)=4cr一2c一3r+3 假定r增加了△rMr．I的收益变化=4c△r一3△r=(4c一3)△r 当4c＞3时上式取正值；当4c＜3时上式取负值。因此当c＞0．75时Mr．I会提高r值；而当c＜0．75时Mr．I会降低r；当c=0．75时他对于任意的0≤r≤1无差异。同理Miss J的期望收益为2c+2r一3cr。 假定c增加了△cMr．I的收益变化=2△c一3r△c=(2—3r)△c 当2＞3时上式取正值；当2＜3r时上式取负值。因此当r＜2／3时Miss J会提高c值；而当r＞2／3时Miss J会降低c值；当r=2／3时她对于任意的0≤c≤1无差异。 (2)绘制反应曲线 先从Mr．I开始。如果Miss J选择c=0．那么Mr．I就会使r值尽可能的小所以r=0就是c=0时Mr．I的最优反应。并且r=0一直都是Mr．I的最优反应直到c=0．75时为止。当c=0．75时位于0和1之间的任意r值都是最优反应。对于所有的c＞0．75Mr．I的最优反应是r=1。 同理对于Miss J来说。如果Mr．I选择r=0．那么Mr．I就会使r值尽可能的大所以c=1就是r=0时Miss J的最优反应。并且c=1一直都是Miss J的最优反应直到r=2／3时为止。当r=2／3时位于0和1之间的任意c值都是最优反应。对于所有的r＞2／3Miss J的最优反应是c=0。 图5—1显示的是他们各自的反应曲线。不难发现它们相交于点(2／33／4)该点即为混合战略纳什均衡。
(1)各自的期望收益令r表示ML.I选择“T”的概率,那么,(1一r)就表示他选择“B”的概率。同样,令c表示MissJ选择“R”的概率,那么(1一c)就表示他选择“L”的概率。当r和c等于0或者1时,相应的策略就是纯策略,除此之外就是混合策略均衡。计算当Mr．I按概率r选择“T”,而MissJ按概率c选择“R”时,Mr．I的期望收益。排列如下：所以,Mr．I的期望收益为2rc+(1一r)c+0+3(1一r)(1一c)=4cr一2c一3r+3假定r增加了△r,Mr．I的收益变化=4c△r一3△r=(4c一3)△r当4c＞3时,上式取正值；当4c＜3时,上式取负值。因此,当c＞0．75时,Mr．I会提高r值；而当c＜0．75时,Mr．I会降低r；当c=0．75时,他对于任意的0≤r≤1无差异。同理,MissJ的期望收益为2c+2r一3cr。假定c增加了△c,Mr．I的收益变化=2△c一3r△c=(2—3r)△c当2＞3,时,上式取正值；当2＜3r时,上式取负值。因此,当r＜2／3时,MissJ会提高c值；而当r＞2／3时,MissJ会降低c值；当r=2／3时,她对于任意的0≤c≤1无差异。(2)绘制反应曲线先从Mr．I开始。如果MissJ选择c=0．那么,Mr．I就会使r值尽可能的小,所以,r=0就是c=0时Mr．I的最优反应。并且,r=0一直都是Mr．I的最优反应,直到c=0．75时为止。当c=0．75时,位于0和1之间的任意r值都是最优反应。对于所有的c＞0．75,Mr．I的最优反应是r=1。同理,对于MissJ来说。如果Mr．I选择r=0．那么,Mr．I就会使r值尽可能的大,所以,c=1就是r=0时MissJ的最优反应。并且,c=1一直都是MissJ的最优反应,直到r=2／3时为止。当r=2／3时,位于0和1之间的任意c值都是最优反应。对于所有的r＞2／3,MissJ的最优反应是c=0。图5—1显示的是他们各自的反应曲线。不难发现,它们相交于点(2／3,3／4),该点即为混合战略纳什均衡。