n元实二次型XAX是半正定的充分必要条件为它的正惯性指数等于它的秩．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：充分性 设实二次型X^TAX的正惯性指数等于它的秩因此可作非退化线性替换X=CY把X^TAX化为如下的规范形y₁²+y₂²+…+y_r²α∈Rⁿ且α≠0记C^-1α=β=(b₁b₂…b_n)^T则αCβ=且β≠0有α^TAα=b₁²+b₂²+…+b_n²>0由此可知X^TAX是半正定的．必要性 设X^TAX是半正定的作非退化线性替换X=Cy把X^TAX化为标准型g(y₁y₂…y_n)假如X^TAX的正惯性指数不等于它的秩则g(y₁y₂…y_n)中存在y_i²的系数为一1取β=(0…010…0)^T令a=Cβ显然α≠0且有α^TAα=g(0…010…0)=一1<0与X^TAX是半正定矛盾．所以n元实二次型X^TA_X的正惯性指数等于它的秩．
充分性设实二次型XTAX的正惯性指数等于它的秩,因此可作非退化线性替换X=CY,把XTAX化为如下的规范形y12+y22+…+yr2,α∈Rn且α≠0,记C-1α=β=(b1,b2,…,bn)T,则αCβ=且β≠0,有αTAα=b12+b22+…+bn2>0,由此可知XTAX是半正定的．必要性设XTAX是半正定的,作非退化线性替换X=Cy,把XTAX化为标准型g(y1,y2,…,yn),假如XTAX的正惯性指数不等于它的秩,则g(y1,y2,…,yn)中存在yi2的系数为一1,取β=(0,…,0,1,0,…,0)T,令a=Cβ,显然α≠0且有αTAα=g(0,…,0,1,0,…,0)=一1<0,与XTAX是半正定矛盾．所以n元实二次型XTA_X的正惯性指数等于它的秩．