设A B都是实对称矩阵 A的一切特征值在区间[a b]上 B的一切特征值在区间 [c d]上．证明：

正确答案：设AB的特征值分别为b≥λ₁(A)≥λ₂(A)≥…≥λ_n(A)≥ad≥λ₁(B)≥λ₂(B)≥…≥λ_n(B)≥c又因为AB为实对称矩阵所以AB为Hermite矩阵由定理18知A+B的特征值为λ_k(A+B)于是有λ_k(A)+λ_n(B)≤λ_k(A+B)≤λ_k(A)+λ₁(B)k=12…n．即a+c≤λ_k(A)+c≤λ_k(A)+λ_n(B)≤λ_k(A+B) ≤λ_k(A)+λ₁(B)≤λ_k(A)+d≤b+dk=12…n．
设A,B的特征值分别为b≥λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)≥a,d≥λ1(B)≥λ2(B)≥…≥λn(B)≥c,又因为A,B为实对称矩阵,所以A,B为Hermite矩阵,由定理18知,A+B的特征值为λk(A+B),于是有λk(A)+λn(B)≤λk(A+B)≤λk(A)+λ1(B),k=1,2,…,n．即a+c≤λk(A)+c≤λk(A)+λn(B)≤λk(A+B)≤λk(A)+λ1(B)≤λk(A)+d≤b+d,k=1,2,…,n．