写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数 其中f(x)在[-π π)上的表达式为：
写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π)上的表达式为：
参考解答
420***114
2025-02-04 22:36:02
解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=nπ，n∈z是其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是
(3)函数在x=(2n+1)π (n∈z)处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x≠(2n+1)π时，由f(x)为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,…）
(4)因为
作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,…)，
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