若四次方程a。x4＋a1x3＋a2x＋a3x＋a4＝0有四个不同的实根 试证明4a。x3 ＋3a1x

正确答案：证明：令f(x)＝a。x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄且四次方程f(x)一0的四个实根为x₁x₂x₃x₄即f(x₄)＝0(i＝1234)． 又∵f(x)在(－∞＋∞)上连续且可导 ∴f(x)在[x_ix_i＋1(i＝123)上满足罗尔定理条件． ∴至少存在一点ε_i∈[x_ix_i＋1使fˊ(ε_i)＝0(i＝123)． 又∵fˊ(x)＝4a。x。＋3a₁x²＋2a₂x＋a₃ ∵fˊ(x)仅有三个根 ∴4a。x³＋3a₁x₂＋2a₂x＋a₃＝0的所有根均为实根．
证明：令f(x)＝a。x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4,且四次方程f(x)一0的四个实根为x1,x2,x3,x4,即f(x4)＝0(i＝1,2,3,4)．又∵f(x)在(－∞,＋∞)上连续且可导∴f(x)在[xi,xi＋1(i＝1,2,3)上满足罗尔定理条件．∴至少存在一点εi∈[xi,xi＋1,使fˊ(εi)＝0(i＝1,2,3)．又∵fˊ(x)＝4a。x。＋3a1x2＋2a2x＋a3∵fˊ(x)仅有三个根∴4a。x3＋3a1x2＋2a2x＋a3＝0的所有根均为实根．