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若函数f(x)在(a b)内具有二阶导数 且f(x1)＝f(x2)＝f(x3) 其中a＜x1＜x2＜

大学本科 已帮助：人 时间:2024-11-10 02:14:22

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．
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难度：⭐⭐⭐

题库：大学本科,理学,数学类

标签：导数,正确答案,请帮忙

参考解答

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413***101

2024-11-10 02:14:22

正确答案：证： 因为f(x)在(ab)内具有二阶导数a＜x1＜x2＜b故f(x)在[x1x2上连续在(x1x2)内可导又f(x1)＝f(x2)故由罗尔定理知存在ε1∈(x1x2)使fˊ(ε1)＝0同理存在ε2∈(x2x3)使fˊ(ε2)＝0故在区间[ε1ε2∈[ab)内考虑fˊ(x)则对fˊ(x)在[ε1ε2上应用罗尔定理存在ε∈(ε1ε2)∈(x1x3)使f〞(ε)＝0．
证：因为f(x)在(a,b)内具有二阶导数,a＜x1＜x2＜b,故f(x)在[x1,x2上连续,在(x1,x2)内可导,又f(x1)＝f(x2),故由罗尔定理知存在ε1∈(x1,x2),使fˊ(ε1)＝0,同理存在ε2∈(x2,x3)使fˊ(ε2)＝0,故在区间[ε1,ε2∈[a,b)内考虑fˊ(x),则对fˊ(x)在[ε1,ε2上应用罗尔定理,存在ε∈(ε1,ε2)∈(x1,x3),使f〞(ε)＝0．

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